存在記号

存在記号（そんざいきごう、existential quantifier）とは、数理論理学（特に述語論理）において、少なくとも1つのメンバーが述語の特性や関係を満たすことを表す記号である。通常「∃」と表記され、存在量化子（そんざいりょうかし）、存在限量子（そんざいげんりょうし）、存在限定子（そんざいげんていし）などとも呼ばれる。この記号（∃）は1897年にジュゼッペ・ペアノによって導入された。

これとは対照的に全称記号は、全てのメンバーについての量化である。

概要

例として、「ある自然数の平方が25である」を表す式を考える。最も素朴な方法として、次のように式を書いていく:

0·0 = 25, または 1·1 = 25, または 2·2 = 25, または 3·3 = 25, などなど

これは 「または」を繰り返しているので、一種の論理和となっている。しかし、「などなど」があるため形式論理の論理和であるとは言えない。その代わりに以下のような文を書く:

ある自然数 ${\displaystyle n}$ について、${\displaystyle n\cdot n=25}$ である。

これは存在量化（existential quantification）を用いた、形式論理として妥当な単一の文である。

この文は前者の書き方よりも正確である点に注意されたい。前者は「などなど」が全ての自然数を指し、それ以外を含まないことを汲み取れはするが、明確には述べられていない。そのため、形式的表現に変換できない。一方、後者の量化された文では、自然数について明確に言及しているため、解釈の誤りは通常の場合生じない。

5 は自然数のもとで、5 を ${\displaystyle n}$ に代入すると "5·5 = 25" となり、式は真となる。"${\displaystyle n\cdot n=25}$" が5以外の自然数 ${\displaystyle n}$ で偽となることは関係がない。少なくとも1つの解が存在すれば、存在量化で真となるに十分である。

一方、「ある偶数 ${\displaystyle n}$ について、${\displaystyle n\cdot n=25}$ である」という文は、偶数の解が存在しないため偽となる。また、「ある奇数 ${\displaystyle n}$ について、${\displaystyle n\cdot n=25}$ である」という文は、5 が奇数であるため真となる。この事実は変数 ${\displaystyle n}$ が取りうる値の範囲を示す「議論領域（domain of discourse）」が重要であることを示している。 何らかの述語を満たす値だけを議論領域としたい場合、存在量化では論理積を使用すればよい。 例として、「ある奇数 ${\displaystyle n}$ について、${\displaystyle n\cdot n=25}$ である」という文は「ある自然数 ${\displaystyle n}$ について、${\displaystyle n}$ は奇数であり、かつ ${\displaystyle n\cdot n=25}$ である」という文と論理的に同値である。この場合、「かつ」は論理積を表している。

数理論理学で存在量化を表す存在記号は "${\displaystyle \exists }$"（サンセリフ体の "E" を裏返した字）で表される。なお、これは英語で存在を意味するexistに由来する。 故に、${\displaystyle P(a,b,c)}$ が "${\displaystyle a\cdot b=c}$" を表す述語で、${\displaystyle \mathbf {N} }$ が自然数の集合であるとすると、

${\displaystyle \exists {n}\in \mathbf {N} \,P(n,n,25)}$

という論理式が以下の文を表すことになる。

ある自然数 ${\displaystyle n}$ について、${\displaystyle n\cdot n=25}$ である。

同様に、${\displaystyle Q(n)}$ が 「${\displaystyle n}$ は偶数である」を表す述語とすると

${\displaystyle \exists {n}\in \mathbf {N} \,{\big (}Q(n)\;\!\;\!{\wedge }\;\!\;\!P(n,n,25){\big )}}$

という論理式が以下の文を表すことになる。

ある偶数 ${\displaystyle n}$ について、${\displaystyle n\cdot n=25}$ である。

存在記号の各種記号法は全称記号の項目に参照されたし。

符号位置

注

関連項目

• 一意性 ∃!
• 一階述語論理
• 存在汎化
• 存在例化
• 量化
• 全称記号

参考文献

• Hinman, P. (2005年). Fundamentals of Mathematical Logic. A K Peters. ISBN 1-568-81262-0